Autor: BOŻENA CHRAMĘGA

nauczyciel matematyki

w Gimnazjum nr 24 w Krakowie

ZBIÓR ZADAŃ

DLA UCZNIÓW UZDOLNIONYCH

MATEMATYCZNIE

/z rozwiązaniami/

ZAD. 1.

Dany jest równoległobok ABCD o polu 1. Środki boków /p-kty K,L,M,N/ połączono z wierzchołkami równoległoboku jak na rysunku. Wewnątrz równoległoboku powstał czworokąt PQRS. Oblicz pole tego czworokąta.

		PPQRS =S - ?
II ∆ABN ∆DLC i II ∆DMA ∆KBC ∆CRL ~ ∆CSB /∢α wspólny/ - na podstawie tw. Talesa k=2 P∆CSB = 4 P∆CRL = 4x ß PSBLR = P∆CSB - P∆CRL = - P∆CRL PSBLR =3 P∆CRL = 3x Analogiczne zależności występują dla par trójkątów podobnych: ∆ANP ~ ∆ADQ ∆DQM ~ ∆DRC ∆KSB ~ ∆APB		PABCD = 1 S + 8x +8y = 1 S +8(x+y) = 1 S=1-8(x+y) P∆KBC == = × PABCD = × 1 = P∆KBC = 4x + y P∆ANB = = = P∆ABCD = × 1 = P∆ANB = x + 4y
/× S = 1 – 8 (x +y) S = 1 – 8 × S = 1 – Odp. Szukane pole czworokąta PQRS wynosi

ZAD. 2.

Dany jest trójkąt ABC o polu 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na 3 równe części. Otrzymujemy p-kty K, L, M takie, że:

Rysujemy odcinki , , . Powstał trójkąt PQR.

Oblicz jego pole.

PPQR =S - ?

PAKQ = 2 × PKBQ = 2x

/Trójkąty mają tą samą wysokość;

podstawa /

Analogicznie:

PBLR = 2 × PCLR = 2y

PCMP = 2 × PAMP = 2z

PAPQ = a

PBRQ = b

PCPR = c

PABC = 1

3x + 3y + 3z + a + b + c + S = 1

I. 3 (x + y + z) + a + b + c + S = 1

Rozpatruję DAKR i DKBR:

PAKR = 2 × PKBR

/Trójkąty mają tą samą wysokość;

podstawa /

2x + a + S = 2(x + b)

(1) a + S = 2b

Analogicznie:

rozpatruję DBLP i DCLP:

PBLP = 2 × PCLP

2y + b + S = 2(y + c)

(2) b + S = 2c

rozpatruję DCMQ i DAMQ:

2z + c + S = 2(z + a)

(3) c + S = 2a

Dodaję stronami równania (1), (2), (3):

3S + a + b + c = 2a + 2b + 2c

3S = a + b + c

Rozpatruję DAKC i DKBC:

PAKC = 2 × PKBC

3z + 2x + a + c + S = 2(3y + b + x)

(4) 3z + a + c + S = 2b + 6y

Rozpatruję DBLA i DLCA:

PBLA = 2 × PLCA

3x + 2y + a + b + S = 2(3z + y + c)

(5) 3x + a + b + S = 6z + 2c

Rozpatruję DCMB i DAMB:

3y +2z + c + b + S = 2(3x + a + z)

(6) 3y + c + b + S = 6x + 2a

Dodaję stronami 4), 5), 6):

3(x + y + z) + 2a + 2b + 2c + 3S = 2a + 2b + 2c + 6(x + y + z)

3S = 6(x + y + z) – 3(x + y + z)

3S = 3(x + y + z) / :3

S = x + y + z

I. 3(x + y + z) + a + b + c + S = 1

3 S + 3S + S = 1

7S = 1 / :7

S =

Odp. Szukane pole trójkąta PQR wynosi .

ZAD. 3.

W trójkącie ABC poprowadzono środkowe przecinające środkowe przecinające się

w punkcie O. Wykaż, że każdy z 6 powstałych trójkątów ma takie samo pole.

K, L, M – środki boków DABC

= h – wysokość DABC

= h₁ - wysokość DKBO i DAKO

PAKO = PKBO

/Trójkąty mają tą samą podstawę równą i tą samą wysokość h₁/.

Analogicznie:

PLBO = PLCO

PCMO = PAMO

Rozpatruję DABO:

Na podstawie tw. Talesa i własności środkowych trójkąta:

PABO= = PABC

Ponieważ PAKO = PKBO i PABO = PAKO + PKBO

PABC = 2PAKO / ·

PAKO = PABC

PKBO = PABC

Analogicznie wykazuję, że

W DCBO: PBLO = PLCO = PABC.

W DACO: PCMO = PAMO = PABC.

Z tego wynika, że PAKO = PKBO = PBLO = PCLO = PMOC = PAMO = PABC, więc każdy z sześciu trójkątów ma takie samo pole.

ZAD. 4.

Dane są punkty A,B,C leżące na okręgu o środku O. Rysujemy czworokąt ABCO. Rysujemy przekątne czworokąta znając |∢BOC| = ω i |∢OAC| = α wyznacz miary katów czworokąta ABCO.